Question

已知拋物線C的方程為y²=4x．
（Ⅰ）寫出焦點F的坐標和準線l的方程；
（Ⅱ）設過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點．問是否存在直線l，使得弦AB的中點為（1，1），若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據拋物線方程求得p，則根據拋物線性質可求得拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程；
（Ⅱ）利用點差法，結合弦中點的坐標求出斜率，利用點斜式，可得直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線y²=4x的焦點在x軸上，且p=2
∴拋物線焦點坐標為（1，0），拋物線的準線方程是x=-1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
兩式相減可得y₁²-y₂²=4x₁-4x₂，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
∵弦AB的中點為（1，1），
∴y₁+y₂=2，
∴直線l的斜率為

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直線l的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．

點評：本小題主要考查拋物線的標準方程、拋物線的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想．屬于中檔題