Question

函數(shù)f（x）=是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（1）=
（1）求實(shí)數(shù)c和d，并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
可得f（0）=0，解得d=0．
再由f（1）==，可得 c=1．
故函數(shù)的解析式為 f（x）=．
（2）由函數(shù)的解析式可得函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則 f（x₁）-f（x₂）=-
===．
由題設(shè)可得 x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），故函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)．
分析：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，解得d=0．再由f（1）=，可得 c=1．由此可得
函數(shù)的解析式．
（2）由函數(shù)的解析式可得函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．