Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a_l=1，公差d＞0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數(shù)列的第二項、第三項、第四項，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（2）設(shè)b_n=

1

n(an+5)

（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n是否存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n均有S_n＞

t

36

總成立？若存在，求出t：若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，解得d，即可得出結(jié)論；
（2）利用裂項相消法求得s_n，使得對任意的n均有S_n＞

t

36

總成立，等價于s_n的最小值大于

t

36

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，
整理得2a₁d=d²，
∵a₁=1，解得：d=0（舍），d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N*）．
（2）b_n=

1

n(an+5)

=

1

2n(n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

4

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

8

-

2n+3

4(n+1)(n+2)

，
∴s_n+1-s_n=

1

4

（

1

n+1

-

1

n+3

）＞0，
∴數(shù)列{S_n}是單調(diào)遞增的，∴s₁=

1

6

∴使得對任意的n均有S_n＞

t

36

總成立，等價于

1

6

＞

t

36

，即t＜6，
又∵t∈N^*，∴滿足條件的t的最大值是5．

點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及裂項法求數(shù)列的和知識，考查學(xué)生恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化能力及運算求解能力，屬難題．