Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3a|x-1|（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在區(qū)間x∈[0，]上的最值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³-6|x-1|=，
∴，
令f′（x）＞0，得x＜1或，
令f′（x）＜0，得．
∵，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
∵f（0）=-6，，
∴f（x）_min=-6．
∵f（1）=1-6+6=1，f（）==6-3＜1，
∴f（x）_max=1．
（2）∵f（x）=x³-3a|x-1|=，
∴，
分類討論如下：
①當(dāng)a=0時(shí)，∵f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，
（i）當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=3x²+3a＞0，∴f（x）在（-∞，1）上遞增；
（ii）當(dāng)x≥1時(shí)．令f′（x）=0，得或（舍），比較與1的大小，再分類如下：
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，∵f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）=3x²-3a＜0，得1＜x＜；由f′（x）=3x²-3a≥0，得，
∴f（x）在（1，）遞減，在上遞增．
③當(dāng)a＜0時(shí)，
此時(shí)，當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上遞增；
當(dāng)x＜1時(shí)，令f′（x）=0，得或，
比較與1的大小，再分類討論如下：
（i）當(dāng)，即-1＜a＜0時(shí)，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得，
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（ii）當(dāng)，即a≤-1時(shí)，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得，
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述：
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（）遞減，在上遞增；
當(dāng)0≤a＜1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在（）上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在（）單調(diào)遞增；
當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．
分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³-6|x-1|=，，令f′（x）＞0，得x＜1或，令f′（x）＜0，得．結(jié)合，能求出f（x）在區(qū)間x∈[0，]上的最值．
（2）由f（x）=x³-3a|x-1|=，知，分類討論能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最值的求法和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的討論．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．易錯(cuò)點(diǎn)是分類不清導(dǎo)致出錯(cuò)．