Question

已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：
（1）（

a

b

+

b

c

+

c

a

）（

b

a

+

c

b

+

a

c

）≥9；
（2）（a+b+c）（a²+b²+c²）≥9abc．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：（1）利用柯西不等式，即可得出結(jié)論；
（2）利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵(

a b

×

b a

+

b c

×

c b

+

c a

×

a c

)2=(1×1+1×1+1×1)2，
又由柯西不等式得，(

a b

×

b a

+

b c

×

c b

+

c a

×

a c

)2=(1×1+1×1+1×1)2≤[（

a b

）²+（

b c

）²+（

c a

）²][（

b a

）²+（

c b

）²+（

a c

）²]
∴有(

a

b

+

b

c

+

c

a

)(

b

a

+

c

b

+

a

c

)≥9
（2）∵a+b+c≥3

3	abc

，又∵a2+b2+c2≥3

3	a2b2c2

∴（a+b+c）（a²+b²+c²）≥9abc

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，正確運(yùn)用不等式的證明方法是關(guān)鍵．