Question

1．若函數(shù)f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）+1是奇函數(shù)，則常數(shù)a的值是$\root{4}{\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，建立條件關(guān)系，即可求出a的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=loga（x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）+1是奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=0，
即log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）+log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）=-2，
∴l(xiāng)og_a[（x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）×（-x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）]=-2，
∴x²+2a²-x²=a^-2，即2a⁴=1，
∴a=±$\root{4}{\frac{1}{2}}$．
又a對數(shù)式的底數(shù)，a＞0，
∴a=$\root{4}{\frac{1}{2}}$
故答案為：$\root{4}{\frac{1}{2}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及對數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用奇偶性的對應(yīng)建立方程是解決本題的關(guān)鍵．