【題目】已知在正整數(shù)n的各位數(shù)字中,共含有個(gè)1,
個(gè)2,,
個(gè)n.證明:
并確定使等號成立的條件.
【答案】見解析
【解析】
對正整數(shù)n的位數(shù)使用數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)是一位數(shù),即
時(shí),所證式顯然成立,
這是因?yàn)椋藭r(shí)的十進(jìn)制表達(dá)式中只有一位數(shù)字
,
即,其余
,所以,左邊=
=右邊.
假設(shè)當(dāng)正整數(shù)不超過k位,即
時(shí),結(jié)論皆成立.
現(xiàn)考慮為
位數(shù),即
時(shí)的情形.
設(shè)的首位數(shù)字為r.則
. ①
若,則在數(shù)
的各位數(shù)字中,
,其余
.
顯然,.
若,記
的各位數(shù)字中含有
個(gè)1,
個(gè)2,…,
個(gè)r,…,
個(gè)9.
則的各位數(shù)字中,含有
個(gè)r、
個(gè)j
.
注意到,正整數(shù)不超過k位.
由歸納法假設(shè),對有
②
則當(dāng)為
位數(shù)時(shí),結(jié)論也成立.
故由數(shù)學(xué)歸納法,知對一切正整數(shù),結(jié)論皆成立.
欲使等號成立,由證明過程,知要么為一位數(shù);要么在
的位數(shù)大于或等于2時(shí),由式②,必須
,此時(shí),由式①得
,
即可表示為
的形式.
上述條件也是充分的,當(dāng)能夠表成以上形式時(shí),有
,其余
.
故
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是( )
A. 若為真命題,則
為真命題 B. 若
則
恒成立
C. 命題“”的否定是“
” D. 命題“若
則
”的逆否命題是“若
,則
”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線的焦點(diǎn)是
.問:是否存在內(nèi)接等腰直角三角形,該三角形的一條直角邊過
點(diǎn)?如果存在,存在幾個(gè)?如果不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,離心率為
,點(diǎn)P(1,
)為橢圓上一點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,過點(diǎn)C(0,1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),記直線AM的斜率為k1,直線BN的斜率為k2,若k1=2k2,求直線l斜率的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(
,
,
)的部分圖像如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式及
圖像的對稱軸方程;
(2)把函數(shù)圖像上點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平移
個(gè)單位,得到函數(shù)
的圖象,求關(guān)于x的方程
在
時(shí)所有的實(shí)數(shù)根之和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l:4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方.
(1)求圓C的方程;
(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N,使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為
為參數(shù)
以原點(diǎn)為極點(diǎn)x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為:
,直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并指出它是何種曲線;
(Ⅱ)設(shè)與曲線
交于
兩點(diǎn),
與曲線
交于
兩點(diǎn),求四邊形
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在
上恒成立,求正數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓C上一點(diǎn),且PF2垂直于x軸,連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點(diǎn)Q,設(shè)
=λ
.
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),求橢圓C的方程及λ的值;
(2)若4≤λ≤5,求橢圓C的離心率的取值范圍.
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