Question

20．已知數(shù)列{a_n}，a₁=3，${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}-4}}{{{a_n}-1}}$，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想a_n的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （ I）由a₁=3，且${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}-4}}{{{a_n}-1}}$，分別令n=1，2，3，即可得出；
（ II）由（1）猜想${a_n}=\frac{2n+1}{n}$，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答 解：（ I）∵a₁=3，且${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}-4}}{{{a_n}-1}}$，
∴${a_2}=\frac{3×3-4}{3-1}=\frac{5}{2}$，${a_3}=\frac{{3×\frac{5}{2}-4}}{{\frac{5}{2}-1}}=\frac{7}{3}$，${a_4}=\frac{{3×\frac{7}{3}-4}}{{\frac{7}{3}-1}}=\frac{9}{4}$； 
（ II）由（1）猜想${a_n}=\frac{2n+1}{n}$，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
①當(dāng)n=1時，${a_1}=\frac{2×1+1}{1}=3$，滿足要求，猜想成立；
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N^*）時，猜想成立，即${a_k}=\frac{2k+1}{k}$，
那么當(dāng)n=k+1時，${a_{k+1}}=\frac{{3{a_k}-4}}{{{a_k}-1}}=\frac{{3×\frac{2k+1}{k}-4}}{{\frac{2k+1}{k}-1}}=\frac{2k+3}{k+1}=\frac{{2（{k+1}）+1}}{k+1}$，
這就表明當(dāng)n=k+1時，猜想成立．
根據(jù)（1），（2）可以斷定，對所有的正整數(shù)該猜想成立，即${a_n}=\frac{2n+1}{n}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用、觀察分析猜想歸納能力，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．