Question

已知函數(shù)f(x)=

3

cos2x+sinxcosx，x∈（0，π）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果關(guān)于x的方程|f（x）|=m，在區(qū)間（0，π）上有兩個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)公式化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果關(guān)于x的方程|f（x）|=m，在區(qū)間（0，π）上有兩個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

3

cos2x+sinxcosx
=

3 (1+cos2x)

2

+

1

2

sin2x
=

3

2

+

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

3

2

+sin(2x+

π

3

)
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ   得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ    k∈Z
因為x∈（0，π），所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，

π

12

]和[

7π

12

，π）．
（2）f（x）=

3

2

+sin(2x+

π

3

)畫出y=|f（x）|的圖象，再畫出y=m的圖象，
觀察可知它們有兩個不同的交點的情況；
可得m=0，1-

3

2

＜m＜

3

，

3

＜m＜1+

3

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)式的化簡求值，二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想，考查計算能力．