Question

已知函數
（1）當k=1時，求函數f（x）的極值
（2）當k＞0時，若函數f（x）在區(qū)間[-3，1]上單調遞減，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數的導數，再令導數等于0，求出極值點，判斷極值點左右兩側導數的正負，當左正右負時有極大值，當左負右正時有極小值．再代入原函數求出極大值和極小值．
（2）因為當k＞0時，若函數f（x）在區(qū)間[-3，1]上單調遞減，所以k＞0時，在區(qū)間[-3，1]上，f′（x）＜0恒成立，而f′（x）是關于x的二次函數，結合函數的對稱軸與定義域，即可求出參數k的取值范圍．
解答：解：（1）f′（x）=kx²+2x-3，當k=1時，，f′（x）=x²+2x-3，
令f′（x）=0，即x²+2x-3=0，解得，x=-3或x=1
且當x＞1時，f′（x）＞0．當-3＜x＜1時，f′（x）＜0．當x＜-3時，f′（x）＞0．
∴當x=-3時，函數f（x）有極大值為f（-3）=10，當x=1時，函數f（x）有極小值為f（1）=
（2）∵當k＞0時，若函數f（x）在區(qū)間[-3，1]上單調遞減，∴k＞0時，在區(qū)間[-3，1]上，f′（x）＜0恒成立．
即k＞0時，在區(qū)間[-3，1]上，kx²+2x-3＜0恒成立，
函數f′（x）=kx²+2x-3是關于x的二次函數，且對稱軸x=-，∵k＞0，∴-＜0
當-≤-3，即0＜k≤時，只需f′（-3）＜0，即9k-9＜0，解得k＜1∴0＜k≤時滿足條件
當-＞-3，即k＞時，只需f′（-）＜0，即0，解得，-＜k＜0，∵k＞0，∴不成立
∴實數k的取值范圍0＜k≤．
點評：本題主要考查函數的導數與極值，單調區(qū)間的關系，以及恒成立問題求參數的取值范圍，屬于導數的應用．