Question

（2013•楊浦區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比不等于1的等比數(shù)列．對(duì)于函數(shù)y=f（x），若數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，則稱函數(shù)f（x）為“保比差數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（0，+∞）上的如下函數(shù)：
①f(x)=

1

x

，
②f（x）=x²，
③f（x）=e^x，
④f(x)=

x

，
則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號(hào)為（　�。�

A．①②

B．③④

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），利用保比差數(shù)列函數(shù)的定義，驗(yàn)證數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，即可得到結(jié)論．

解答：解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1）
①由題意，lnf（a_n）=ln

1

an

，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln

1

an+1

-ln

1

an

=ln

an

an+1

=-lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，滿足題意；
②由題意，lnf（a_n）=lnan2，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=lnan+12-lnan2=lnq²=2lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，滿足題意；
③由題意，lnf（a_n）=lnean，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=lnean+1-lnean=a_n+1-a_n不是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（a_n）}不為等差數(shù)列，不滿足題意；
④由題意，lnf（a_n）=ln

an

，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln

an+1

-ln

an

=

1

2

lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，滿足題意；
綜上，為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號(hào)為①②④
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．