Question

（本小題滿分12分）

如圖,在四棱錐中,底面是正方形,底面,,點是的中點,且交于點.

(Ⅰ)求證:平面平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析;（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：方法1：(Ⅰ)：底面, 又底面是正方形， 平面, 又,是的中點,,面 ，然后再根據(jù)線面垂直的判定定理，即可得出結(jié)果.(Ⅱ)取的中點,則.作于,連結(jié). 底面, 底面 , 為二面角的平面角，解三角形即可求出結(jié)果.解法2:(Ⅰ)如圖,以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,即可求出結(jié)果.

試題解析：證明(Ⅰ)：底面,

又底面是正方形，

平面,

又,是的中點,,

面

由已知, 平面.

又面,面面 6分

(Ⅱ)取的中點,則.

作于,連結(jié).

底面, 底面 ,

為二面角的平面角

設(shè)，在中,,

11分

所以二面角的余弦值為 12分

解法2:(Ⅰ)如圖,以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,由于,

可設(shè), 則

,

3分

, 4分

,

又且 平面.又平面

所以,平面平面 6分

(Ⅱ)底面是平面的一個法向量, 7分

設(shè)平面的一個法向量為,,

則 得 9分

11分

二面角的余弦值是 12分.

考點：1.線面垂直的判定；2.面面垂直的判定.