Question

10．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=1-3^x，若在區(qū)間[-6，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+3）=0（0＜a＜1）恰有5個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{{\sqrt{6}}}{6}，\frac{1}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{6}}}{6}，1）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $（\frac{1}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由題意知函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的圖象有5個不同的交點；從而作圖求解即可．

解答 解：∵方程f（x）-log_a（x+3）=0（0＜a＜1）恰有5個不同的實數(shù)根，
∴函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的圖象有5個不同的交點；
作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，
函數(shù)y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的圖象為曲線m時，
-2=log_a（1+3），故a=$\frac{1}{2}$；
函數(shù)y=log_a（x+3）（0＜a＜1）的圖象為曲線l時，
-2=log_a（3+3），故a=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
結(jié)合選項可得，a的取值范圍是（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{1}{2}$）；
故選：A．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系應(yīng)用及學(xué)生的作圖與應(yīng)用的能力，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．