Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+a+$\frac{1}{3}$（a＞0），g（x）=bx³-2bx²+bx-$\frac{4}{27}$（b＞1），則y=g[f（x）]的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 求導，確定g（x）在（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分別有零點，f（x）=ax²-2ax+a+$\frac{1}{3}$=a（x-1）²+$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{3}$，可得f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上無根，在（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分別有兩個根，即可得出y=g[f（x）]的零點個數(shù)．

解答 解：∵g（x）=bx³-2bx²+bx-$\frac{4}{27}$，∴g′（x）=b（3x-1）（x-1）
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，$\frac{1}{3}$），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{1}{3}$，1），
∵g（0）g（$\frac{1}{3}$）＜0，g（$\frac{1}{3}$）g（1）＜0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分別有零點，
∵f（x）=ax²-2ax+a+$\frac{1}{3}$=a（x-1）²+$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{3}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上無根，在（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分別有兩個根，
∴y=g[f（x）]的零點個數(shù)為4，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的零點，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．