Question

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABCD⊥平面EFDC，設(shè)AD中點(diǎn)為P．
（ I ）當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求證：CP∥平面ABEF
（Ⅱ）設(shè)BE=x，問當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐A-CDF的體積有最大值？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

解：（ I ）證明：取AF得中點(diǎn)Q，連接QE、QP，則有條件可得QP與DF 平行且相等，
又DF=4，EC=2，且DF∥EC，
∴QP與 EC平行且相等，
∴PQEC為平行四邊形，
∴CP∥EQ，又EQ?平面ABEF，CP?平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，BE=x，
∴AF=x （0＜x≤4），F(xiàn)D=6-x，
∴V_A-CDF==（6x-x²）=[9-（x-3）²]，
故當(dāng)x=3時(shí)，V_A-CDF取得最大值為3．
分析：（ I ）取AF得中點(diǎn)Q，連接QE、QP，利用三角形的中位線的性質(zhì)證明PQEC為平行四邊形，可得CP∥EQ，再由直線和平面平行的判定定理證得結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)平面ABEF⊥平面EFDC，BE=x，可得AF=x （0＜x≤4），F(xiàn)D=6-x，代入V_A-CDF計(jì)算公式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得V_A-CDF的最大值．
點(diǎn)評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，求三棱錐的體積，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．