Question

20．給出下列四個(gè)命題：
①半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為$\frac{1}{2}$的扇形面積為$\frac{1}{2}$．
②若α，β為銳角，tan（α+β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，則α+2β=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$．
③函數(shù)y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{2π}{3}$
④已知α∈（0，π），sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，則tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}}{12}$
其中正確的命題是③④．

Answer 1

分析 ①利用扇形面積即可得出．
②由α，β為銳角，tan（α+β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，可得（α+β）∈$（0，\frac{π}{4}）$，$β∈（0，\frac{π}{4}）$，可得（α+2β）∈$（0，\frac{π}{2}）$．計(jì)算出tan（α+2β），進(jìn)而判斷出正誤．
③把x=$\frac{2π}{3}$代入可得：y=$cos（2×\frac{2π}{3}-\frac{π}{3}）$=cosπ=-1，即可判斷出正誤；
④α∈（0，π），sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，可得$sin（α+\frac{π}{4}）$=-$\frac{1}{5}$，又α∈$（\frac{π}{2}，π）$，可得$（α+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}）$，可得$cos（α+\frac{π}{4}）$，即可得出tan（α+$\frac{π}{4}$）．

解答 解：①半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為$\frac{1}{2}$的扇形面積S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=1，因此不正確．
②若α，β為銳角，tan（α+β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，∴（α+β）∈$（0，\frac{π}{4}）$，$β∈（0，\frac{π}{4}）$，可得（α+2β）∈$（0，\frac{π}{2}）$．
∴tan（α+2β）=$\frac{tan（α+β）+tanβ}{1-tan（α+β）tanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1，則α+2β=$\frac{π}{4}$，因此不正確．
③把x=$\frac{2π}{3}$代入可得：y=$cos（2×\frac{2π}{3}-\frac{π}{3}）$=cosπ=-1，因此函數(shù)y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{2π}{3}$，正確；
④已知α∈（0，π），sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，∴$\sqrt{2}$$sin（α+\frac{π}{4}）$=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，化為$sin（α+\frac{π}{4}）$=-$\frac{1}{5}$，又α∈$（\frac{π}{2}，π）$，∴$（α+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}）$，
∴$cos（α+\frac{π}{4}）$=-$\sqrt{1-（-\frac{1}{5}）^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，則tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{-\frac{1}{5}}{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，正確．
其中正確的命題是 ③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．