【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，同時滿足：

①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）證明：[0，1]是函數(shù)y=f（x）=x2的一個“和諧區(qū)間”．

（2）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）已知：函數(shù)（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n﹣m的最大值．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),在區(qū)間上單調(diào)遞增,且值域也為滿足“和諧區(qū)間”的定義,即可得到結論；（2）該問題是一個確定性問題,從正面證明有一定的難度,故可采用反證法來進行證明；（3）設是已知函數(shù)定義域的子集,我們可以用表示出的取值,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題后,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可以得到答案.

試題解析：（1）y=x2在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增．

又f（0）=0，f（1）=1，

值域為[0，1]，

區(qū)間[0，1]是y=f（x）=x2的一個“和諧區(qū)間”．

（2）設[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．

故函數(shù)在[m，n]上單調(diào)遞增．

若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故m、n是方程的同號的相異實數(shù)根．

x2﹣3x+5=0無實數(shù)根，

函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）設[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．

x≠0，

故函數(shù)在[m，n]上單調(diào)遞增．

若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故m、n是方程，即的同號的相異實數(shù)根．

，

m，n同號，只須，即a＞1或a＜﹣3時，

已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”[m，n]，

當a=3時，n﹣m取最大值

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設二面角為60°，=1，=，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設平面平面， ， ， ， ， ，

（1）證明： 平面；

（2） 求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，圓：，，，為平面內(nèi)一動點，若以線段為直徑的圓與圓相切．

（1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，直線過交于，兩點，過且與垂直的直線與交于，兩點，求四邊形面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線過點，其參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線與相交于，兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列推理不屬于合情推理的是（ ）

A. 由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導電，得出一切金屬都能導電.

B. 半徑為的圓面積，則單位圓面積為.

C. 由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì).

D. 猜想數(shù)列2，4，8，…的通項公式為. .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對函數(shù)定義域內(nèi)任意都有成立，那么稱為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”．給出如下四個結論：

①函數(shù)存在“線性覆蓋函數(shù)”；

②對于給定的函數(shù)，其“線性覆蓋函數(shù)”可能不存在，也可能有無數(shù)個；

③為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”；

④若為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則

其中所有正確結論的序號是___________

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）當時， ；當時， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此可知.利用導數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設 ，則.

∵， ，∴在上單調(diào)遞增，

從而得在上單調(diào)遞增，又∵，

∴當時， ，當時， ，

因此， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設，

則 .

∵當時， ，∴在上單調(diào)遞增.

又∵，∴當時， ；當時， .

①當時， ，即，這時， ；

②當時， ，即，這時， .

綜上， 在上的最大值為：當時， ；

當時， .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．

【題型】解答題
【結束】
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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為 .

（Ⅰ） 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；

（ Ⅱ ） 設直線 與軸和軸的交點分別為，為圓上的任意一點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知冪函數(shù)f(x)＝，其中2<m<2，m∈Z，滿足：

(1)f(x)是區(qū)間(0，+∞)上的增函數(shù)；

(2)對任意的x∈R，都有f(x) +f(x)＝0.

求同時滿足條件(1)、(2)的冪函數(shù)f(x)的解析式，并求x∈[0,3]時，f(x)的值域．

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