Question

．

（本小題滿分12分）

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知

（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；     

（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析；（II） 。

【解析】此題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和，運(yùn)用了錯(cuò)位相減法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，這個(gè)方法是高考中常用的方法，同學(xué)們要熟練掌握它

（Ⅰ）由題意只要證明bnbn-1

為一常數(shù)即可，已知S_n+1=4a_n+1，推出b₁的值，然后繼續(xù)遞推相減，得a_n+1-2an=2（a_n-2a_n-1），從而求出bn與bn-1的關(guān)系；

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）{bn}是等比數(shù)列，可得bn}的通項(xiàng)公式，從而證得數(shù)列{a_n 2n }是首項(xiàng)為1 2 ，公差為1 2 的等差數(shù)列，最后利用錯(cuò)位相減法，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：（I）由及，有

 

由，．．．① 　則當(dāng)時(shí)，有．．．．．②

②－①得

又，

是首項(xiàng)，公比為２的等比數(shù)列．

（II）由（I）可得，

數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．

，