Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n=b₁+2b₂+…+2^n-1b_n（n∈N^*），求證：T_n＜$\frac{1}{6}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）解法一：由${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1），即可得出．
解法二：由${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，轉(zhuǎn)化為${a_n}-{2^n}={a_{n-1}}-{2^{n-1}}$（n≥2），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
解法三：由${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，可得$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}•\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}+\frac{1}{2}$，$\frac{a_n}{2^n}-1=\frac{1}{2}（\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}-1）（{n≥2}）$．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
（2）由${2^{n-1}}{b_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{{（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}$=$\frac{{（{{2^{n+1}}+1}）-（{{2^n}+1}）}}{{2（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}}）$（n∈N^*），利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （1）解法一：∵${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1）=$3+2+{2^2}+…+{2^{n-2}}+{2^{n-1}}=2+\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}+1$．
檢驗(yàn)知當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論也成立，故${a_n}={2^n}+1$（n∈N^*）．…（5分）${S_n}=（2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}）+n=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+n={2^{n+1}}+n-2$（n∈N^*）．…（7分）
解法二：∵${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，∴${a_n}-{2^n}={a_{n-1}}-{2^{n-1}}$（n≥2），…（3分）
∴數(shù)列{a_n-2}是首項(xiàng)為a₁-2=1，公差為0的等差數(shù)列，
∴${a_n}-{2^n}=1$，${a_n}={2^n}+1$（n∈N^*）．　      …（5分）${S_n}=（2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}）+n=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+n={2^{n+1}}+n-2$（n∈N^*）．…（7分）
解法三：∵${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-1}}（{n≥2}）$，∴$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}•\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}+\frac{1}{2}$，$\frac{a_n}{2^n}-1=\frac{1}{2}（\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}-1）（{n≥2}）$．   …（3分）
∵$\frac{a_1}{2^1}-1=\frac{1}{2}≠0$，∴數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}-1}\right\}$是首項(xiàng)與公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴$\frac{a_n}{2^n}-1={（\frac{1}{2}）^n}，{a_n}={2^n}+1$（n∈N^*）．　　       …（5分）
${S_n}=（2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}）+n=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+n={2^{n+1}}+n-2$（n∈N^*）．…（7分）
（2）證明：∵${2^{n-1}}{b_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{{（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}$
=$\frac{{（{{2^{n+1}}+1}）-（{{2^n}+1}）}}{{2（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}}）$（n∈N^*）．…（11分）
∴${T_n}={b_1}+2{b_2}+…+{2^{n-1}}{b_n}$
=$\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{1+2}-\frac{1}{{1+{2^2}}}}）+（{\frac{1}{{1+{2^2}}}-\frac{1}{{1+{2^3}}}}）+…+（{\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}}）}]$
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{1+2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}}）＜\frac{1}{2}•\frac{1}{1+2}=\frac{1}{6}$．     …14分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”與“累加求和”方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．