Question

8．已知f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{2}{x}-3，（0＜x≤1）}\\{lg（{x^2}+1），（x＞1）}\end{array}}$，則f（f（3））=0，f（x）的最小值是0．

Answer 1

分析 由分段函數的解析式，結合對數的運算，可得f（f（3））；分別討論0＜x≤1，x＞1的函數的單調性，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{2}{x}-3，（0＜x≤1）}\\{lg（{x^2}+1），（x＞1）}\end{array}}$，
可得f（3）=lg（3²+1）=lg10=1，
f（f（3））=f（1）=1+2-3=0；
當0＜x≤1時，f（x）=x+$\frac{2}{x}$-3的導數為f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$＜0，
即有f（x）遞減，則f（1）最小，且為0；
當x＞1時，f（x）=lg（1+x²）遞增，即有f（x）＞f（1）=lg2＞0．
則有f（x）的最小值為0．
故答案為：0，0．

點評 本題考查分段函數的運用，考查函數的單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．