Question

17．如圖，在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別為BB₁，AC的中點．求證：BF∥平面A₁EC．

Answer 1

分析 以F為原點，F(xiàn)C為x軸，F(xiàn)B為y軸，過F作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BF∥平面A₁EC．

解答 證明：以F為原點，F(xiàn)C為x軸，F(xiàn)B為y軸，過F作平面ABC的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)AB=2，AA₁=2t，則B（0，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（0，0，0），
A₁（-1，0，2t），C（1，0，0），E（0，$\sqrt{3}$，t），
$\overrightarrow{FB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（-2，0，2t），$\overrightarrow{CE}$=（-1，$\sqrt{3}，t$），
設(shè)平面A₁EC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=-2x+2tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-x+\sqrt{3}y+tz=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（t，0，1），
∵$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{n}$=0，且BF?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．

點評 本題考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．