記函數(shù)f（x）的導數(shù)為f（1）（x），f（1）（x）的導數(shù)為f（2）（x），…，f（n-1）（x）的導數(shù)為f（n）（x）（n∈N*）．若f（x）可進行n次求導，則f（x）均可近似表示為：
f(x)≈f(0)+
f(1)(0)
1!
x+
f(2)(0)
2!
x2+
f(3)(0)
3!
x3+…+
f(n)(0)
n!
xn

若取n=4，根據(jù)這個結論，則可近似估計自然對數(shù)的底數(shù)e≈
65
24
65
24
（用分數(shù)表示）（注：n!=n×（n-1）×…×2×1）
分析：令f（x）=ex，由已知，將f（x）近似表示為f（0）+x+
x
2
+
x
6
+
x
24
，令x=1，則能得出關于e的表達式，整理計算即可．
解答：解：構造函數(shù)f（x）=ex，根據(jù)導數(shù)運算，可知f（n）（x）=ex，f（n）（0）=1
所以若取n=4，ex≈f（0）+x+
x
2
+
x
6
+
x
24
，
令x=1，則e≈1+1+
1
2
+
1
6
+
1
24
=
65
24

故答案為：
65
24
點評：本題考查函數(shù)求導運算，閱讀、轉(zhuǎn)化、構造、計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）的導數(shù)為f（1）（x），f（1）（x）的導數(shù)為f（2）（x），…f（n-1）（x）的導數(shù)為f（n）（x）（n∈N*）．若f（x）可進行n次求導，則f（x）均可近似表示為：f（x）≈f（0）+
f(1)(0)
1！
x+
f(2)(0)
2！
x2+
f(3)(0)
3！
x3+…+
f(n)(0)
n！
xn，其中n！=n（n-1）（n-2）（n-3）…3×2×1，若取n=3，根據(jù)這個結論，則可近似估計自然對數(shù)的底數(shù)e≈
8
3
8
3
（用分數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

記函數(shù)f（x）的導數(shù)為f（1）（x），f（1）（x）的導數(shù)為f（2）（x），…f（n-1）（x）的導數(shù)為f（n）（x）（n∈N*）．若f（x）可進行n次求導，則f（x）均可近似表示為：f（x）≈f（0）+
f(1)(0)
1！
x+
f(2)(0)
2！
x2+
f(3)(0)
3！
x3+…+
f(n)(0)
n！
xn，其中n！=n（n-1）（n-2）（n-3）…3×2×1，若取n=3，根據(jù)這個結論，則可近似估計自然對數(shù)的底數(shù)e≈______（用分數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年福建省莆田市仙游一中、六中高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

記函數(shù)f（x）的導數(shù)為f（1）（x），f（1）（x）的導數(shù)為f（2）（x），…f（n-1）（x）的導數(shù)為f（n）（x）（n∈N*）．若f（x）可進行n次求導，則f（x）均可近似表示為：f（x）≈f（0）+x+x2+x3+…+xn，其中n！=n（n-1）（n-2）（n-3）…3×2×1，若取n=3，根據(jù)這個結論，則可近似估計自然對數(shù)的底數(shù)e≈    （用分數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年福建省廈門市高三3月質(zhì)量檢查數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

記函數(shù)f（x）的導數(shù)為f（1）（x），f（1）（x）的導數(shù)為f（2）（x），…，f（n-1）（x）的導數(shù)為f（n）（x）（n∈N*）．若f（x）可進行n次求導，則f（x）均可近似表示為：
若取n=4，根據(jù)這個結論，則可近似估計自然對數(shù)的底數(shù)e≈    （用分數(shù)表示）（注：n!=n×（n-1）×…×2×1）

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