【題目】已知數(shù)列{an}滿足:an≠0,a1= ,an﹣an+1=2anan+1 . (n∈N*).
(1)求證:{ }是等差數(shù)列,并求出an;
(2)證明:a1a2+a2a3+…+anan+1< .
【答案】
(1)證明:a1= ,an﹣an+1=2anan+1.可得
﹣ =2,則{ }是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,
= +2(n﹣1)=3+2(n﹣1)=2n+1,
即有an=
(2)證明:a1a2+a2a3+…+anan+1= + +…+
= ( ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= ( ﹣ )= ﹣ <
【解析】(1)兩邊除以anan+1 , 由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,即可得證,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到;(2)運(yùn)用數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,運(yùn)用不等式的性質(zhì),即可得證.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系),還要掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sin(2x﹣ )圖象向左平移 個(gè)單位,所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程是( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方
圖:
將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,你是否有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?
非體育迷 | 體育迷 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計(jì) |
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列,期望和方差.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某省高考改革新方案,不分文理科,高考成績(jī)實(shí)行“”的構(gòu)成模式,第一個(gè)“3”是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ),每門(mén)滿分150分,第二個(gè)“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級(jí)性考試,每門(mén)滿分100分,高考錄取成績(jī)卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對(duì)物理、化學(xué)、生物的選考情況,將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體,從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,他們選考物理,化學(xué),生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表:
(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率;
(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,記表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)將頻率視為概率,現(xiàn)從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取4名學(xué)生,記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作,求事件“”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取高一年級(jí)n名學(xué)生,測(cè)得他們的身高分別是a1 , a2 , …,an , 則如圖所示的程序框圖輸出的s= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位招聘職工分為筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié),將筆試成績(jī)合格(滿分100分,及格60分,精確到個(gè)位數(shù))的應(yīng)聘者進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下的頻率分布表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[60,70] | 0.16 | |
(70,80] | 22 | |
(80,90] | 14 | 0.28 |
(90,100] | ||
合計(jì) | 50 | 1 |
(Ⅰ)確定表中的值(直接寫(xiě)出結(jié)果,不必寫(xiě)過(guò)程)
(Ⅱ)面試規(guī)定,筆試成績(jī)?cè)?0分(不含80分)以上者可以進(jìn)入面試環(huán)節(jié),面試時(shí)又要分兩關(guān),首先面試官依次提出4個(gè)問(wèn)題供選手回答,并規(guī)定,答對(duì)2道題就終止回答,通過(guò)第一關(guān)可以進(jìn)入下一關(guān),如果前三題均沒(méi)有答對(duì),則不再回答第四題并且不能進(jìn)入下一關(guān),假定某選手獲得面試資格的概率與答對(duì)每道題的概率相等.
求該選手答完3道題而通過(guò)第一關(guān)的概率;
記該選手在面試第一關(guān)中的答題個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心和拋物線的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn), 和有公共焦點(diǎn),點(diǎn)在軸正半軸上,且的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)及點(diǎn)到直線的距離成等比數(shù)列。
(Ⅰ)當(dāng)的準(zhǔn)線與直線的距離為時(shí),求及的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交于, 兩點(diǎn),交于, 兩點(diǎn)。當(dāng)時(shí),求的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=x(2﹣k)(1+k)(k∈Z),且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(1)求實(shí)數(shù)k的值,并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)f(x)的解析式;
(2)試判斷是否存在正數(shù)q,使函數(shù)g(x)=1﹣qf(x)+(2q﹣1)x在區(qū)間[﹣1,2]上的值域?yàn)閇﹣4, ].若存在,求出q的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=9x﹣2×3x+4,x∈[﹣1,2].
(1)設(shè)t=3x , x∈[﹣1,2],求t的最大值與最小值;
(2)求f(x)的最大值與最小值.
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