Question

已知a為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=

-2x(x2-a)+x2，x2≥a 2x(x2-a)+x2，x2＜a

（Ⅰ）當a=4時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在x∈[0，l]上的最小值為f（1），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）寫出a=4的f（x）的表達式，分別求導(dǎo)數(shù)，并分解因式，求出增區(qū)間；
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化為求x∈[0，1]，f（x）≥f（1）恒成立時a的取值范圍．對a討論①a≥1，②0＜a＜1，Ⅰ）

a

≤x＜1，Ⅱ）0＜x＜

a

，1）

a

≤

1

4

，2）

a

≥

1

4

，通過分段函數(shù)表達式，注意對應(yīng)，通過參數(shù)分離，運用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，解出不等式，最終求并集．

解答： 解：（Ⅰ）當a=4時，f（x）=

x2-2x(x2-4)，x≥2或x≤-2 x2+2x(x2-4)，-2＜x＜2

，
當x≥2或x≤-2時，f′（x）=2x-6x²+8=-2（x+1）（3x-4）＜0恒成立，故無減區(qū)間；
當-2＜x＜2時，f′（x）=2x+6x²-8=2（x-1）（3x+4）＞0得-2＜x＜-

4

3

或1＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-2，-

4

3

），（1，2）；
（Ⅱ）由題意即求x∈[0，1]，f（x）≥f（1）恒成立時a的取值范圍．
x=1時，f（x）=f（1）；對x∈[0，1），要使f（x）≥f（1）．
①當a≥1時，f（x）≥f（1）得x²+2x（x²-a）≥3-2a，即2a（x-1）≤2x³+x²-3，
由于0≤x＜1，即2a≥

2x3+x2-3

x-1

=2x²+3x+3，故2a≥2+3+3即a≥4；
②當0＜a＜1時，f（x）≥f（1）得x²-x（x²-a）•（±2）≥2a-1．
Ⅰ）

a

≤x＜1時，x²-2x（x²-a）≥2a-1即2a（x-1）≥2x³-x²-1，2a≤

2x3-x2-1

x-1

=2x²+x+1，
故只需2a≤2a+

a

+1，顯然成立；
Ⅱ）0＜x＜

a

時，x²+2x（x²-a）≥2a-1即2a（x+1）≤2x³+x²+1，2a≤

2x3+x2+1

x+1

=2x²-x+1
1）當

a

≤

1

4

，即0＜a≤

1

16

時，只需2a≤2a-

a

+1顯然恒成立；
2）當

a

≥

1

4

即

1

16

≤a＜1時，2a≤

1

8

-

1

4

+1=

7

8

，故

1

16

≤a≤

7

16

．
由1），2）得，0＜a≤

7

16

．
故由①②得a的取值范圍為（0，

7

16

]∪[4，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查不等式的恒成立問題的參數(shù)分離法，由函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查分類討論的思想方法，屬于綜合題，有一定的難度．