Question

下列說法正確的個數(shù)是（　　）
①正切函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上滿足f（a）f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在（a，b）上有零點；
③f(x)=log2(x+

x2+1

)的圖象關(guān)于原點對稱；
④若一個函數(shù)是周期函數(shù)，那么它一定有最小正周期．

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由正切函數(shù)的圖象可知正確函數(shù)在整個定義域上不單調(diào)，有無數(shù)個單調(diào)增區(qū)間；
若f（a）f（b）＜0，但函數(shù)在兩端點處不連續(xù)，則不一定在（a，b）上有零點；
由定義判斷出f(x)=log2(x+

x2+1

)是奇函數(shù)說明③正確；
舉例說明④錯誤．

解答： 解：①正切函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，錯誤，正確函數(shù)在整個定義域上不單調(diào)，有無數(shù)個單調(diào)增區(qū)間；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上滿足f（a）f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在（a，b）上有零點，錯誤，若函數(shù)在兩端點處不連續(xù)，則不一定在（a，b）上有零點；
③函數(shù)f(x)=log2(x+

x2+1

)的定義域為R，且f(-x)=log2(-x+

(-x)2+1

)=log2(-x+

x2+1

)=log2(x+

x2+1

)-1=-log2(x+

x2+1

)=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，正確；
④若一個函數(shù)是周期函數(shù)，那么它一定有最小正周期，錯誤，例如常數(shù)函數(shù)f（x）=1是周期函數(shù)，但無最小正周期．
∴正確的命題是③．
故選：B．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)零點的判定方法，是中檔題．