Question

定義域為R的函數(shù)f（x）=

1 |x-1 ，x≠1 1，x=1

，若關于x的方程h（x）=[f（x）]²+bf（x）+

1

2

b2-

5

8

，有五個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，x₅．設x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，且x₁，x₂，x₃，x₄，x₅構(gòu)成一個等差數(shù)列的前五項，則該數(shù)列的前10項和為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分類討論求得：①當x=1時，f（x）=1，1+b+

1

2

b2-

5

8

=0，即b=-

1

2

，b=-

3

2

，②當x≠1時，t=

1

|x-1|

＞0，可得出m（t）=t²-

1

2

t-

1

2

，或m（t）=t²-

3

2

t+

1

2

，
利用零點定義，解方程求解t的值，求得五個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，x₅．求得數(shù)列的首項，公差即可的出前10項和．

解答： 解：∵定義域為R的函數(shù)f（x）=

1 |x-1 ，x≠1 1，x=1

h（x）=[f（x）]²+bf（x）+

1

2

b2-

5

8

，
∴分類討論求得：
①當x=1時，f（x）=1，1+b+

1

2

b2-

5

8

=0，
即b=-

1

2

，b=-

3

2

，
②當x≠1時，t=

1

|x-1|

＞0，h（x）=[f（x）]²+bf（x）+

1

2

b2-

5

8

，
得出：m（t）=t²-

1

2

t-

1

2

，或m（t）=t²-

3

2

t+

1

2

，
即t²-

1

2

t-

1

2

=0或t²-

3

2

t+

1

2

=0
求解得：t=1，t=-

1

2

（舍去），t=

1

2

即

1

|x-1|

=1，或

1

|x-1|

=

1

2

，
x=0，或x=2或x=-1，或x=3，
∴有五個不同的零點x₁=-1，x₂=0，x₃=1，x₄=2，x₅=3，
∵x₁，x₂，x₃，x₄，x₅構(gòu)成一個等差數(shù)列的前五項，
∴該數(shù)列的前10項和為=10×（-1）+

10×9

2

×1=35，

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，根的存在性及根的個數(shù)判斷，關鍵是通過對x分x=1與x≠1討論，由方程f²（x）+bf（x）+

1

2

b²-

5

8

=0分別求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，