如圖,已知拋物線y2=4x的焦點為F,過F的直線交拋物線于M、N兩點,其準線l與x軸交于K點.
(1)求證:KF平分∠MKN;
(2)O為坐標原點,直線MO、NO分別交準線于點P、Q,求|PQ|+|MN|的最小值.
考點:直線與圓錐曲線的關系
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設KM和KN的斜率分別為k1,k2,證明KF平分∠MKN,只需證k1+k2=0即可;
(2)設M、N的坐標分別為(
y12
4
y1),(
y22
4
,y2)
,利用三點共線可得P、Q點的坐標.設直線MN的方程為x=my+1,代入拋物線方程,結合韋達定理,求出|PQ|,|MN|,從而可求|PQ|+|MN|的最小值.
解答: (1)證明:拋物線焦點坐標為F(1,0),準線方程為x=-1….(2分)
設直線MN的方程為x=my+1,M、N的坐標分別為(
y12
4
,y1),(
y22
4
,y2)

x=my+1
y2=4x
y2-4my-4=0
,∴y1+y2=4m,y1y2=-4…..(4分)
設KM和KN的斜率分別為k1,k2,顯然只需證k1+k2=0即可.
∵K(-1,0)
k1+k2=
y1
y
2
1
4
+1
+
y2
y
2
2
4
+1
=
4(y1+y2)(y1y2+4)
(
y
2
1
+4)(
y
2
1
+4)
=0
…(6分)
(2)解:設M、N的坐標分別為(
y12
4
,y1),(
y22
4
,y2)
,
由M,O,P三點共線可得P點的坐標為(-1,-
4
y1
)
,
同理可由N,O,Q三點共線可求出Q點坐標為(-1,-
4
y2
)
,…(7分)
設直線MN的方程為x=my+1.
x=my+1
y2=4x
y2-4my-4=0

∴y1+y2=4m,y1y2=-4,
|PQ|=|
4
y1
-
4
y2
|=
4(y1-y2)
|y1y2|
=
(y1+y2)2-4y1y2
=
16m2+16
=4
m2+1
…(9分)
又直線MN的傾斜角為θ,則m=
1
tanθ
,θ∈(0,π)

|PQ|=4
1+
1
tan2θ
=
4
sinθ
….(10分)
同理可得|MN|═
4
sin2θ
…..(13分)
|PQ|+|MN|=
4
sinθ
+
4
sin2θ
≥8
θ=
π
2
時取到等號)   …..(15分)
點評:本題考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理的運用,考查學生分析解決問題的能力,考查學生的計算能力,綜合性強.
練習冊系列答案
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設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,M∈C,以M為圓心的圓M與l,相切于點Q,Q的縱坐標為
3
p
,E(5,0)是圓M與x軸除F外的另一個交點
(Ⅰ)求拋物線C與圓M的方程;
(Ⅱ)已知直線n:y=k(x-1)(k>0),n與C交于A,B兩點,n與l交于點D,且|FA|=|FD|,求△ABQ的面積.

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設雙曲線C以橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
的兩個焦點為焦點,且雙曲線C的一條漸近線是y=
3
x

(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線C交于不同兩點E,F(xiàn),且E,F(xiàn)都在以P(0,3)為圓心的圓上,求實數(shù)m的取值范圍.

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1
x

(1)求f(x)的表達式;
(2)若不等式2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若f(x)中,x=sinα+cosα,α∈(-
π
2
,0),且f(1-m)+f(1-m2)<0,求實數(shù)m的取值范圍.

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已知x,y都是正實數(shù),且x+y>1.用反證法證明:
y
1+x
1
3
x
1+y
1
3
中至少有一個成立.

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在平面直角坐標系xOy中,雙曲線C:
x2
12
-
y2
4
=1的右焦點為F,一條過原點0且傾斜角為銳角的直線l與雙曲線C交于A,B兩點.若△FAB的面積為8
3
,則直線的斜率為
 

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