Question

（2012•眉山二模）已知平面上一定點(diǎn)C（-1，0）和一定直線l：x=-4．P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，(

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0．
（1）問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線上，并求出該曲線方程；
（2）點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在點(diǎn)P的軌跡上，若

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OC

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)，(

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)整理即可得到點(diǎn)P在什么曲線上，并求出該曲線方程；
（2）直接設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OC

，得到A、B、C三點(diǎn)共線．且λ＞0；再把A的坐標(biāo)用B的坐標(biāo)表示出來(lái)；結(jié)合A、B兩點(diǎn)在點(diǎn)P的軌跡上以及橢圓上的點(diǎn)的范圍限制即可求出λ的取值范圍．

解答：解：（1）由(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0，得：

PQ

2-4

PC

2=0，…（2分）
設(shè)P（x，y），則（x+4）²-4[（x+1）²+y²]=0，化簡(jiǎn)得：

x2

4

+

y2

3

=1，…（4分）
點(diǎn)P在橢圓上，其方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OC

得：

CA

+λ

CB

=

0

，
所以，A、B、C三點(diǎn)共線．且λ＞0，
得：（x₁+1，y₁）+λ（x₂+1，y₂）=0，即：

x1=-1-λ-λx2 y1=-λy2

…（8分）
因?yàn)?span id="iik4g8o" class="MathJye">

x12

4

+

y12

3

=1，所以

(-1-λ-λx2)2

4

+

(-λy2)2

3

=1①…（9分）
又因?yàn)?span id="0wwoigk" class="MathJye">

x22

4

+

y22

3

=1，所以

(λx2)2

4

+

(λy2)2

3

=λ2②…（10分）
由①-②得：

2λ(λ+1)x2+(λ+1)2

4

=1-λ2，化簡(jiǎn)得：x2=

3-5λ

2λ

，…（12分）
因?yàn)?2≤x₂≤2，所以-2≤

3-5λ

2λ

≤2．
解得：

1

3

≤λ≤3所以λ的取值范圍為[

1

3

，3]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線以及平面向量的綜合問(wèn)題．解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于由

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OC

，得到A、B、C三點(diǎn)共線．且λ＞0．