Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，且a＞0．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若b＞0，試說明 ＜ln ＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= ，
由f′（x）≥0，且a＞0，得ax﹣1≥0，即x ，
∵x∈（1，+∞），∴ ，即a≥1；
（Ⅱ）∵b＞0，由（Ⅰ）知，a≥1．
∴ ＞1，又f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（ ）＞f（1），即 ＞0．
化簡得： ＜ ；
ln ＜ ＜0．
令g（x）=ln（1+x）﹣x（x∈[0，+∞）），則g′（x）= ＜0．
∴函數(shù)g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)．
∴g（ ）=ln（1+ ）=ln ﹣ ＜g（0）=0．
綜上， ＜ln ＜
【解析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由f′（x）≥0，且a＞0，得ax﹣1≥0，即x ，再由x的范圍求得a的范圍；（Ⅱ）b＞0，由（Ⅰ）知a≥1，可得 ＞1，由f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得f（ ）＞f（1），化簡得到 ＜ ；
由ln ＜ ＜0．構造輔助函數(shù)g（x）=ln（1+x）﹣x（x∈[0，+∞）），利用導數(shù)判斷函數(shù)g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)．由g（ ）＜g（0）得ln ＜ ．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．