Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且向量

m

=（

3

，-2sinA），

n

=（2cos²

A

2

-1，cos2A），且

m

‖

n

，A為銳角．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量共線(xiàn)的條件，建立等式，結(jié)合A為銳角，即可求角A的大��；
（Ⅱ）根據(jù)a=2，利用余弦定理及基本不等式，結(jié)合三角形面積公式，即可求△ABC的面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（

3

，-2sinA），

n

=（2cos²

A

2

-1，cos2A），且

m

‖

n

，
∴

3

cos2A=-2sinA（2cos²

A

2

-1），
∴

3

cos2A=-2sinAcosA，
∴

3

cos2A=-sin2A，
∴tan2A=-

3

∵A為銳角
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=2，∴4=b²+c²-2bccos

π

3

∴4=b²+c²-bc≥bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）
∴b=c時(shí)，bc取得最大值4
∵△ABC的面積等于

1

2

bcsinA
∴△ABC的面積的最大值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線(xiàn)的條件，考查余弦定理，考查基本不等式，考查三角形的面積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．