Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-1．
（Ⅰ）證明{a_n}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

1

(log2an+1)•(log2an+2)

；求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1知S_n+1=2a_n+1-1，兩式作差可求得a_n+1=2a_n，易求a₁=1，利用等比數(shù)列的定義即可求得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2^n-1，于是可得b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，從而可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1知S_n+1=2a_n+1-1，
∴S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，
即a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，
又a₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2^n-1，
∴a_n+1=2ⁿ，a_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴l(xiāng)og₂a_n+1=n，log₂a_n+2=n+1，
∴b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，突出考查裂項(xiàng)法的應(yīng)用，屬于中檔題．