Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且atanB=

20

3

，bsinA=4．
（1）求cosB和邊長(zhǎng)a；
（2）若

BA

•(

AC

-

AB

)=15，求cos4C的值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理及bsinA=4，求出asinB=4①，用等式①除以已知的另一個(gè)等式②，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，整理后求出cosB的值，根據(jù)cosB的值大于0及B為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，進(jìn)而求出tanB的值，將tanB的值代入②，即可求出a的值；
（2）利用平面向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)已知的等式，將a與cosB的值代入求出c的值，發(fā)現(xiàn)a=c，可得出A=C，將所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將2C變形為A+C，再利用誘導(dǎo)公式cos（A+C）=-cosB變形，將cosB的值代入即可求出值．

解答：解：（1）由bsinA=4及

a

sinA

=

b

sinB

得：asinB=bsinA=4①，
又atanB=

20

3

②，
∴①÷②得：

asinB

atanB

=cosB=

3

5

＞0，
又atanB=

20

3

＞0，∴tanB＞0，
∴sinB=

1-cos2B

=

4

5

，tanB=

4

3

，
則a=

20 3

tanB

=5；
（2）∵

BA

•(

AC

-

AB

)=

BA

•

BC

=accosB=15，且a=5，cosB=

3

5

，
∴c=5，即a=c，
∴A=C，又cos（A+C）=-cosB，
則cos4C=2cos²2C-1=2cos²（A+C）-1=2cos²B-1=2×（

3

5

）²-1=-

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．