已知函數(shù)f(x)=2ax2+bx+c
(1)已知函數(shù)f(x)經(jīng)過(0,8),(-1,1),(1,16)三點,求f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(3)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
分析:(1)把(0,8),(-1,1),(1,16)三點分別代入f(x)=2ax2+bx+c,能夠求出f(x)的解析式.
(2)由f(x)=2-x2+2x+3對于任意x∈R都有意義,知f(x)=2-x2+2x+3的定義域為R.設(shè)u=-x2+2x+3,則f(x)=2u,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出u∈(-∞,4],再由指函數(shù)性質(zhì)能求出f(x)的值域.
(3)設(shè)u=-x2+2x+3,則f(x)=2u,u∈(-∞,4],利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解答:解:(1)∵f(x)=2ax2+bx+c過(0,8),(-1,1),(1,16)三點,
8=2c
16=2a+b+c
1=2a-b+c
,即:
c=log28=3
a+b+c=log216=4
a-b+c=log21=0
,
解方程組得:
a=-1
b=2
c=3
,
f(x)=2-x2+2x+3
(2)∵f(x)=2-x2+2x+3對于任意x∈R都有意義,
f(x)=2-x2+2x+3的定義域為R.
設(shè)u=-x2+2x+3,則f(x)=2u,
當x∈R時,由二次函數(shù)性質(zhì)知u∈(-∞,4],
所以f(x)=2u,u∈(-∞,4],
根據(jù)f(x)=2u為指函數(shù)性質(zhì)可知:f(x)∈(-∞,16].
(3)由(2)知:設(shè)u=-x2+2x+3,則f(x)=2u,u∈(-∞,4]
①當x∈(-∞,1]時,隨x增大,u增大,
從指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知:隨u增大,f(x)=2u也增大,
所以f(x)=2-x2+2x+3在(-∞,1]上為增函數(shù).
②當x∈[1,+∞)時,隨x增大,u減小,
從指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知:隨u減小,f(x)=2u也減小,
所以f(x)=2-x2+2x+3在(-∞,1]上為減函數(shù).
點評:本題考查函數(shù)的解析式、定義域、值域和單調(diào)區(qū)間的求法,解題時要認真審題,注意待定系數(shù)法、換元法、二次函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用.
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;
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3
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3
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2
3
2
3

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