Question

已知集合A={x|ax²+2x+3=0，a∈R，x∈R}．B={x|x²-2x-3=0}，
（1）若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并求出這個(gè)元素；
（2）若A∩B=A，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論：當(dāng)a=0時(shí)，適合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由△=0，得出a的值及這個(gè)元素；
（2）先由A∩B=A得A⊆B，再分類討論：A=∅，A∩B=A成立；當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，；當(dāng)A中只有二個(gè)元素時(shí)，最后綜上所得．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，A={x|2x+3=0，x∈R}={-

3

2

}，適合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，△=4-12a=0，得a=

1

3

，A={-3}．故所求a的值為0這個(gè)元素為-

3

2

，或

1

3

這個(gè)元素是-3．
（2）B={-1，3}，由A∩B=A得A⊆B，
當(dāng)△=4-12a＜0，即a＞

1

3

時(shí)，A=∅，A∩B=A成立；
當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，由（1）可知A⊆B不成立；
當(dāng)A中只有二個(gè)元素時(shí)，A=B={-1，3}，故-1+3=-

1

a

，解得a=-1．
綜上所述，所求a的值為a＞

1

3

或a=-1．

點(diǎn)評：本題屬于以一元二次方程為依托，求元素與集合關(guān)系的判斷、集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用的基礎(chǔ)題，也是高考常會(huì)考的題型．