Question

1．設A，B分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的公共頂點，P，M分別為雙曲線和橢圓上異于A，B的兩動點，且滿足$\overline{AP}$+$\overline{BP}$=$λ（\overline{AM}+\overline{BM}）$，其中λ∈R，|λ|＞1，設直線AP，BP，AM，BM的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄且k₁+k₂=5，則k₃+k₄=-5．

Answer 1

分析 如圖所示，由滿足$\overline{AP}$+$\overline{BP}$=$λ（\overline{AM}+\overline{BM}）$，其中λ∈R，|λ|＞1，利用向量的平行四邊形法則可得：O，M，P三點共線．設P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k≠0．分別利用點在雙曲線與橢圓上可得$\frac{{x}_{1}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$，$\frac{{x}_{2}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$．k₁+k₂=5，利用斜率計算公式可得5=$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}•\frac{1}{k}$．再利用向量計算公式即可得出k₃+k₄．

解答 解：如圖所示，
∵滿足$\overline{AP}$+$\overline{BP}$=$λ（\overline{AM}+\overline{BM}）$，其中λ∈R，|λ|＞1，
∴-2$\overrightarrow{PO}$=λ•（-2$\overrightarrow{MO}$），
∴O，M，P三點共線．
設P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k≠0．
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$，$\frac{{x}_{2}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$，
∵k₁+k₂=5，
∴5=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{x}_{1}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{\frac{{{a}^{2}y}_{1}^{2}}{^{2}}}$=$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}•\frac{1}{k}$．
∴k₃+k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+a}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{2}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{1}{k}$=-5．
故答案為：-5．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、向量的平行四邊形法則、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．