Question

【題目】如圖，在幾何體中，，，平面平面，，，，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，，由幾何關(guān)系可證得四邊形是平行四邊形，則，結(jié)合線面平行的判斷定理可得平面；

（Ⅱ）結(jié)合幾何關(guān)系，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得直線AB的方向向量為，設(shè)平面的法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，，

又∵為的中點(diǎn)，，，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

而且平面，平面，

∴平面；

（Ⅱ）∵，平面平面，且交于，

∴平面，

由（Ⅰ）知，∴平面，

又∵，為中點(diǎn)，

∴，

如圖，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

∴，，，

設(shè)平面的法向量為，則

，即，

令，得，

∴直線與平面所成角的正弦值為.