Question

7．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D上一定點(diǎn)且DP=2PA₁，Q是AB₁上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)$\frac{AQ}{Q{B}_{1}}$等于多少時(shí)，PQ長取得最小值？并求此最小值；
（2）在條件（1）下，求證：
①PQ∥D₁B；
②PQ是異面直線A₁D、AB₁的公垂線段．

Answer 1

分析 （1）首先以A₁D₁，A₁B₁，A₁A所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出要用到的幾點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)Q（0，1-z₀，z₀）．可以判斷當(dāng)PQ⊥AB₁時(shí)，PQ最短，所以根據(jù)$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0$求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式求出AQ，QB₁，PQ長度即可；
（2）①求出向量$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{{D}_{1}B}$的坐標(biāo)，證明$\overrightarrow{PQ}∥\overrightarrow{{D}_{1}B}$即可；
②由上面可知PQ⊥AB₁，所以要證明PQ是異面直線A₁D，AB₁的公垂線，只要再證明PQ⊥A₁D，所以求出$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，說明$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0$即可．

解答 解：（1）分別以邊A₁D₁，A₁B₁，A₁A所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；
能確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
A（0，0，1），B₁（0，1，0），P（$\frac{1}{3}，0，\frac{1}{3}$），B（0，1，1），D₁（1，0，0），A₁（0，0，0），D（1，0，1）；
設(shè)Q（0，1-z₀，z₀），0≤z₀≤1，顯然當(dāng)PQ⊥AB₁時(shí)，PQ長取得最小值；
$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（0，1，-1），\overrightarrow{PQ}=（-\frac{1}{3}，1-{z}_{0}，{z}_{0}-\frac{1}{3}）$；
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{PQ}=0$；
∴$1-{z}_{0}-{z}_{0}+\frac{1}{3}=0$；
∴${z}_{0}=\frac{2}{3}$；
∴$Q（0，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$，|QA|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，|QB₁|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，|PQ|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴此時(shí)$\frac{AQ}{Q{B}_{1}}=\frac{1}{2}$；
即當(dāng)$\frac{AQ}{Q{B}_{1}}=\frac{1}{2}$時(shí)，PQ長取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）證明：
①$\overrightarrow{PQ}=（-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{3}（-1，1，1）$，$\overrightarrow{{D}_{1}B}=（-1，1，1）$；
∴$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{D}_{1}B}$；
∴PQ∥D₁B；
②$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（1，0，1）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0$；
∴$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{{A}_{1}D}$；
而由（1）知
PQ⊥AB₁；
∴PQ是異面直線A₁D，AB₁的公垂線．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解決立體幾何問題的方法，能在空間直角坐標(biāo)系中確定或設(shè)出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，空間兩非零向量垂直的充要條件，共線向量基本定理，以及異面直線公垂線的概念．