雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦點，直線y=
3
x為C的一條漸近線．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A、B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合），當
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
，且λ1+λ2=-
8
3
時，求Q點的坐標．
（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
由橢圓
x2
8
+
y2
4
=1
求得兩焦點為（-2，0），（2，0），
∴對于雙曲線C：c=2，又y=
3
x為雙曲線C的一條漸近線
∴
b
a
=
3
解得a2=1，b2=3，
∴雙曲線C的方程為x2-
y2
3
=1
（Ⅱ）由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2）
則Q(-
4
k
，0)
∵
PQ
=λ1
QA
，
∴(-
4
k
，-4)=λ1(x1+
4
k
，y1)．
∴λ1=
-
4
k
x1+
4
k
=-
4
kx1+4

同理λ2=-
4
kx2+4
，
所以λ1+λ2=-
4
kx1+4
-
4
kx2+4
=-
8
3
．
即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）
又y=kx+4以及
x2-
y2
3
=1
消去y得（3-k2）x2-8kx-19=0．
當3-k2=0時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，3-k2≠0．
由韋達定理有：
x1+x2=
8k
3-k2

x1x2=-
19
3-k2

代入（*）式得k2=4，k=±2
∴所求Q點的坐標為（±2，0）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F（1，0），C1的中心和C2的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C2分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C2的標準方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直線l的方程；
（Ⅲ）若坐標原點O關(guān)于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點，求橢圓C1的長軸長的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l1過A（0，1），與直線x=-2相交于點P（-2，y0），直線l2過B（0，-1）與x相交于Q（x0，0），x0、y0滿足y0-
x0
2
=1，l1∩l2=M．
（Ⅰ）求直線l1的方程（方程中含有y0）；
（Ⅱ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點F1的直線l與C相交于點A、B，F(xiàn)2為C的右焦點，求△ABF2面積最大時點F2到直線l的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，右焦點為（2
2
，0），斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率為e，左、右兩焦點分別為F1、F2，焦距為2c，拋物線C以F2為頂點，F(xiàn)1為焦點，點P為拋物線與雙曲線右支上的一個交點，若a|PF2|+c|PF1|=8a2，則e的值為（　�。�
A．
3
B．3C．
2
D．
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點Q是橢圓外的動點，滿足|
F1Q
|=2a，點P是線段F1Q與該橢圓的交點
（1）若點P的橫坐標為
a
2
，證明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在點Q，使得△F1QF2的面積等于b2，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

直線y=2x+1與橢圓
x2
4
+
y2
16
=1的位置關(guān)系是（　�。�
A．相交B．相切C．相離D．不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設(shè)點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)和半圓x2+y2=b2（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0；如圖，半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)內(nèi)切于矩形ABCD，且CD交y軸于點G，點P是半圓x2+y2=b2（y≤0）上異于A，B的任意一點，當點P位于點M(
6
3
，-
3
3
)時，△AGP的面積最大．
（1）求曲線C的方程；
（2）連PC、PD交AB分別于點E、F，求證：AE2+BF2為定值．

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同步練習(xí)冊答案