Question

（2012•三明模擬）如圖1，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，E是AD的中點(diǎn)．現(xiàn)截去部分幾何體后得到如圖2所示的四棱錐A-A₁B₁CD．
（Ⅰ）求四棱錐A-A₁B₁CD的體積；
（Ⅱ）求證：AB₁∥面A₁EC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將幾何體補(bǔ)形成正方體，利用補(bǔ)形法可得結(jié)論；
（Ⅱ）連接A₁C，B₁D，交于O，則O為B₁D中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得AB₁∥OE，從而可得AB₁∥面A₁EC．

解答：（Ⅰ）解：如圖，將幾何體補(bǔ)形成正方體，-----------------------------------------（3分）
則VA-A1B1CD=V正方體AC1-VA1DD1-B1CC1-VB1-ABC=a3-

1

2

a3-

1

6

a3=

1

3

a3--------（7分）
（Ⅱ）證明：在正方體AC₁中，截面A₁B₁CD是矩形，
連接A₁C，B₁D，交于O，則O為B₁D中點(diǎn)．
又E是AD的中點(diǎn)，連接OE，則OE是△AB₁D的中位線，于是AB₁∥OE，
又OE?面A₁EC，A₁B?面A₁EC，于是AB₁∥面A₁EC．-------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查四棱錐的體積．考查線面平行，解題的關(guān)鍵是補(bǔ)形，正確運(yùn)用線面平行的判定．