Question

設關于x的方程2^x+2-4^x-b=0．
（Ⅰ） 如果b=1，求實數(shù)x的值；
（Ⅱ） 如果2^x≤16且log₂x≥0，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)的零點

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當b=1時，可表示出方程，看成2^x的二次方程后配方，可解得答案；
（Ⅱ）方程2^x+2-4^x-b=0可化為b=2^x+2-4^x，令t=2^x，則2^x+2-4^x可化為t的二次函數(shù)，由2^x≤16且log₂x≥0可得x的范圍，進而可得t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得該二次函數(shù)的值域，即得b的范圍；

解答： 解：（Ⅰ） 當b=1時，則：2^x+2-4^x-1=0，
∴（2^x-2）²=3，
∴2x=2±

3

，
解得x=log2(2±

3

)．　　　    　　        　             
（Ⅱ）∵2^x+2-4^x-b=0，∴b=2^x+2-4^x，
令t=2^x，∵2^x≤16且log₂x≥0，∴1≤x≤4，
∴t∈[2，16]，又2^x+2-4^x=-（t-2）²+4，
∴t=2時，-（t-2）²+4取得最大值4；當t=16時，-（t-2）²+4取得最小值-192，即2^x+2-4^x∈[-192，16]，
故實數(shù)b的取值范圍為[-192，16]．

點評：本題考查指數(shù)、對數(shù)不等式的求解，考查解指數(shù)方程，考查換元法解決問題中的應用．