Question

19．已知圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=9，過(guò)點(diǎn)P（-2，4）作圓C的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)．
（1）求切線PA、PB的方程；
（2）求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）分類討論，切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，切線方程為y-4=k（x+2），由點(diǎn)到直線的距離公式能求出切線的方程．
（2）求出四邊形PACB的面積，S_△ACB，即可求△PAB的面積．

解答 解：（1）切線斜率不存在時(shí)，直線x=-2，滿足題意；
切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，切線方程為y-4=k（x+2），即kx-y+2k+4=0
由點(diǎn)到直線的距離公式得：$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，解之得：k=$\frac{5}{12}$，方程為5x-12y+58=0．
故所求切線方程分別為：x=-2或，5x-12y+58=0．
（2）由題意，PC=$\sqrt{13}$，PA=PB=2，四邊形PACB的面積為2×$\frac{1}{2}×2×3$=6，
sin∠BCP=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，cos∠BCP=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，
∴sin∠ACB=$\frac{12}{13}$，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}×3×3×\frac{12}{13}$=$\frac{54}{13}$，
∴△PAB的面積S=6-$\frac{54}{13}$=$\frac{24}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用直線和圓相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．