Question

（2013•成都二模）設(shè)函數(shù)f（x）=x²過(guò)點(diǎn)C₁（1，0）作X軸的垂線l₁交函數(shù)f（x）圖象于點(diǎn)A₁，以A₁為切 點(diǎn)作函數(shù)f（x）圖象的切線交x軸于點(diǎn)C₂，再過(guò)C₂作x軸的垂線l₂交函數(shù)f（x）圖象于點(diǎn) A₂，…，以此類推得點(diǎn)A_n，記A_n的橫坐標(biāo)為a_n，n∈N⁺．
（I）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式a_n；
（II）設(shè)直線l_n與函數(shù)g（x）=log

1

2

x：的圖象相交于點(diǎn)B_n，記bn=

OAn

•

OBn

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，可得以點(diǎn)A_n-1（a_n-1，

a

2 n-1

）為切點(diǎn)的切線方程，從而可得數(shù)列{a_n}以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
即可求出通項(xiàng)公式a_n；
（II）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：（I）證明：∵函數(shù)f（x）=x²，∴f′（x）=2x，
∴以點(diǎn)A_n-1（a_n-1，

a

2 n-1

）為切點(diǎn)的切線方程為y-

a

2 n-1

=2a_n-1（x-a_n-1）．
當(dāng)y=0時(shí)，得x=

1

2

a_n-1，即a_n=

1

2

a_n-1．
又∵a₁=1，∴數(shù)列{a_n}以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式為a_n=（

1

2

）^n-1
（II）解：根據(jù)題意，得B_n（（

1

2

）^n-1，n-1），∴b_n=

OAn

•

OBn

=（

1

4

）^n-1+（

1

4

）^n-1（n-1）=n（

1

4

）^n-1，
∴S_n=1×（

1

4

）⁰+2×（

1

4

）¹+…+n×（

1

4

）^n-1，
∴

1

4

S_n=1×（

1

4

）¹+2×（

1

4

）²+…+n×（

1

4

）ⁿ，
相減，得

3

4

S_n=1×（

1

4

）⁰+1×（

1

4

）¹+…+（

1

4

）^n-1-n×（

1

4

）ⁿ=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-n×(

1

4

)n
∴Sn=

16

9

-

3n+4

9×4n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．