Question

三棱錐P-ABC中，PA=AB=AC，∠BAC=120°，PA⊥平面ABC，點(diǎn)E、F分別為線段PC、BC的中點(diǎn)，
（1）判斷PB與平面AEF的位置關(guān)系并說明理由；
（2）求直線PF與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中點(diǎn)E、F分別為線段PC、BC的中點(diǎn)，由三角形中位線定理，可得EF∥PB，進(jìn)而由線面平行的判定定理，即可得到PB∥平面AEF．
（2）F作FH⊥AC于點(diǎn)H，由已知中PA⊥平面ABC，可得面PAC⊥平面ABC，連接PH，可得∠FPH即直線PF與平面PAC所成的角．解三角形即可得到直線PF與平面PAC所成角的正弦值
解答：解：（1）PB∥平面AEF，（2分）
∵點(diǎn)E、F分別為線段PC、BC的中點(diǎn)，
∴EF為△PBC的中位線，
∴EF∥PB，（4分）
又PB?平面AEF，EF?平面AEF，
∴PB∥平面AEF．（6分）
（2）過F作FH⊥AC于點(diǎn)H，由于PA⊥平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC，
從而FH⊥平面PAC，連接PH，可得∠FPH即直線PF與平面PAC所成的角．（10分）
不妨設(shè)PA=AB=AC=1，則在△ABC中，
計(jì)算可得，，
又Rt△PAF中，，
∴在Rt△PFH中，，
即直線PF與平面PAC所成角的正弦值為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，（1）中關(guān)鍵是判斷出EF∥PB，（2）中關(guān)鍵是得到∠FPH即直線PF與平面PAC所成的角．