Question

若函數(shù)f（x）=x+asin x在R上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ________．

Answer 1

[-1，1]
分析：先對(duì)函數(shù)f（x）=x+asin x進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)原函數(shù)是R上的增函數(shù)一定有其導(dǎo)函數(shù)在R上大于等于0恒成立得到1+acosx≥0，再結(jié)合cosx的范圍可求出a的范圍．
解答：∵f′（x）=1+acosx，
∴要使函數(shù)f（x）=x+asinx在R上遞增，則1+acosx≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立．
∵-1≤cosx≤1，
①當(dāng)a＞0時(shí)-a≤acosx≤a，
∴-a≥-1，∴0＜a≤1；
②當(dāng)a=0時(shí)適合；
③當(dāng)a＜0時(shí)，a≤acosx≤-a，
∴a≥-1，
∴-1≤a＜0．
綜上，-1≤a≤1．
故答案為：[-1，1]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．