Question

18．已知P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點，M，N分別是橢圓E的左右頂點，直線PM、PN的斜率之積為-$\frac{1}{5}$．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）過橢圓E的左焦點F₁的直線交橢圓E于A、B兩點，F(xiàn)₂為橢圓E的右焦點，試求△AF₂B的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出M，N的坐標，由直線的斜率公式，化簡整理，可得b²=$\frac{1}{5}$a²，再由離心率公式計算即可得到；
（2）設過橢圓E的左焦點F₁（-c，0）的直線為x=my-c，代入橢圓方程，運用韋達定理，求得|y₁-y₂|的最值，由三角形的面積公式和橢圓的定義，可得r的關系式，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）M（-a，0），N（a，0），直線PM、PN的斜率之積為-$\frac{1}{5}$．
即為$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=-$\frac{1}{5}$，
化簡可得5y₀²+x₀²=a²，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，
即有b²=$\frac{1}{5}$a²，則c²=a²-b²=$\frac{4}{5}$a²，
即有離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）${C}_{△A{F}_{2}B}$=4a，又${S}_{△A{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}×r×$${C}_{△A{F}_{2}B}$，
所以r=$\frac{{S}_{△A{F}_{2}B}}{2a}$，又${S}_{△A{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|，
所以r=$\frac{|{y}_{1}-{y}_{2}|}{\sqrt{5}}$；
設過橢圓E的左焦點F₁（-2b，0）的直線為x=my-2b，
代入橢圓方程可得（5+m²）y²-4mby-b²=0，
y₁+y₂=$\frac{4mb}{{m}^{2}+5}$，y₁y₂=-$\frac{-^{2}}{{m}^{2}+5}$，
即有|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}b\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+5}$，
所以r=$\frac{{|y}_{1}-{y}_{2}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2b}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{4}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$≤$\frac{2b}{2\sqrt{4}}$=$\frac{2}$，（當且僅當m=±1時等號成立）；
所以r∈（0，$\frac{2}$]

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及化簡整理的能力，考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．