Question

已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0）兩點(diǎn)，且圓心C在直線y=x+1上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知線段MN的端點(diǎn)M的坐標(biāo)（3，4），另一端點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程；
（3）是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦PQ，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在求出直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出三個(gè)方程組成方程組，利用消元法求解；
（2）設(shè)出點(diǎn)G、N的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式用G點(diǎn)的坐標(biāo)表示N點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入圓的方程，整理后得到點(diǎn)G軌跡方程；
（3）假設(shè)存在滿足條件的直線l并設(shè)出其方程和點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，聯(lián)立圓的方程和直線方程消元后得到一元二次方程，再由韋達(dá)定理得到兩根的乘積和判別式的符號(hào)求出b的范圍，由OP⊥OQ列出關(guān)系式，求出b的值注意驗(yàn)證．

解答：解：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
由題意列方程組，

(-3-a)2+b2=r2   (1-a)2+b2=r2     b=a+1

，解得，a=-1，b=0，r=2
∴所求圓的方程為：（x+1）²+y²=4
（2）設(shè)N（x₁，y₁），G（x，y），
∵線段MN的中點(diǎn)是G，
∴由中點(diǎn)公式得

x1+3 2 =x y1+4 2 =y

?

x1=2x-3 y1=2y-4

∵N在圓C上，∴（2x-2）²+（2y-4）²=4，
即（x-1）²+（y-2）²=1，
∴點(diǎn)G的軌跡方程是（x-1）²+（y-2）²=1．
（3）設(shè)存在這樣的直線l，并設(shè)直線方程為：y=x+b
由

(x+1)2+y2=4 y=x+b

?2x2+(2b+2)x+b2-3=0?x1x2=

b2-3

2

①
且△=4(b+1)2-8(b2-3)＞0?1-

2

＜b＜1+

2

同理可得：y1y2=

(b-1)2-4

2

②；
∵以PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
∴OP⊥OQ，即x₁x₂+y₁y₂=0，把①②代入化簡(jiǎn)得，b²-b-3=0
解得，b=

1± 13

2

；
∴經(jīng)檢驗(yàn)存在兩條這樣的直線l：y=x+

1± 13

2

點(diǎn)評(píng)：本題是直線與圓的方程綜合性題，考查了用待定系數(shù)法求圓的方程，用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；對(duì)于存在性的處理方法，先假設(shè)存在再由題意用設(shè)而不求思想和韋達(dá)定理列出關(guān)系式，注意驗(yàn)證所求值的范圍．