Question

（1）已知點(diǎn)A（5，0），點(diǎn)B在直線y=6上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C單位圓x²+y²=1運(yùn)動(dòng)，求AB+BC的最小值及對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P在直線y=6上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作單位圓x²+y²=1的兩切線，設(shè)兩切點(diǎn)為Q和R，求證：直線QR恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，作出點(diǎn)A（5，0）關(guān)于直線y=6的對(duì)稱點(diǎn)A′（5，12），則AB=A′B．可得AB+BC=A′B+BC，連接OA交直線y=6于點(diǎn)B，交⊙O于點(diǎn)C．則AB+BC的最小值=OA-r．
（2）利用圓的切線的性質(zhì)可得：兩個(gè)切點(diǎn)Q，R在以O(shè)P為的圓上，與x²+y²=1即可得到過(guò)兩個(gè)圓的交點(diǎn)Q，R的直線方程，再利用直線系的性質(zhì)即可得出直線所過(guò)的定點(diǎn)．

解答：解：（1）如圖所示，作出點(diǎn)A（5，0）關(guān)于直線y=6的對(duì)稱點(diǎn)A′（5，12），則AB=A′B．
∴AB+BC=A′B+BC，
連接OA交直線y=6于點(diǎn)B，交⊙O于點(diǎn)C．
則AB+BC的最小值=OA-r=

52+122

-1=12．
此時(shí)直線OA：y=

12

5

x，
令y=6，解得x=

5

2

．
∴B(

5

2

，6)，．
∴AB+BC的最小值為12，對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

5

2

，6)
（2）設(shè)P（s，6），則OP的中點(diǎn)為M(

s

2

，3)．
∴以點(diǎn)M為圓心，OM為半徑的圓的方程為：(x-

s

2

)2+(y-3)2=

s2

4

+9，
化為x²-sx+y²-6y=0，
聯(lián)立

x2+y2=1 x2-sx+y2-6y=0

，
化為sx+6y-1=0即為過(guò)兩個(gè)圓的交點(diǎn)Q，R的直線方程．．
聯(lián)立

x=0 y- 1 6 =0

，
解得

x=0 y= 1 6

．
∴直線QR恒過(guò)定點(diǎn)(0，

1

6

)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓的根軸的求法，屬于難題．