Question

如圖，已知拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)．
（Ⅰ）求r的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先聯(lián)立拋物線與圓的方程消去y，得到x的二次方程，根據(jù)拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的充要條件是此方程有兩個(gè)不相等的正根，可求出r的范圍．
（2）先設(shè)出四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)再由（1）中的x二次方程得到兩根之和、兩根之積，表示出面積并求出其的平方值，最后根據(jù)三次均值不等式確定得到最大值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）將拋物線E：y²=x代入圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）的方程，
消去y²，整理得x²-7x+16-r²=0（1）
拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：
方程（1）有兩個(gè)不相等的正根
∴
即．
解這個(gè)方程組得，．

（II）設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
、、、．
則由（I）根據(jù)韋達(dá)定理有x₁+x₂=7，x₁x₂=16-r²，
則
∴
令，
則S²=（7+2t）²（7-2t）下面求S²的最大值．
由三次均值有：
當(dāng)且僅當(dāng)7+2t=14-4t，即時(shí)取最大值．
經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿(mǎn)足題意．
故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線和圓的綜合問(wèn)題．圓錐曲線是高考必考題，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．