Question

已知二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx(a、b為常數(shù)，且a≠0)，滿足條件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根．

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n(m＜n)，使f(x)的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵f(1＋x)＝f(1－x)， 　　∴－＝1， 　　又方程f(x)＝x有等根Û ax2＋(b－1)x＝0有等根， 　　∴Δ＝(b－1)2＝0Þ b＝1Þ a＝－， 　　∴f(x)＝－x2＋x． 　　(Ⅱ)∵f(x)為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為x＝1， 　　1．當(dāng)m≥1時(shí)，f(x)在[m，n]上是減函數(shù)， 　　∴3m＝f(x)min＝f(n)＝－n2＋n(*)， 　　3n＝f(x)max＝f(m)＝－m2＋m， 　　兩式相減得：3(m－n)＝－ (n2－m2)＋(n－m)， 　　∵1≤m＜n，上式除以m－n得：m＋n＝8， 　　代入(*)化簡(jiǎn)得：n2－8n＋48＝0無實(shí)數(shù)解． 　　2．當(dāng)n≤1時(shí)，f(x)在[m，n]上是增函數(shù)， 　　∴3m＝f(x)min＝f(m)＝－m2＋m， 　　3n＝f(x)max＝f(n)＝－n2＋n， 　　∴m＝－4，n＝0． 　　3．當(dāng)m≤1≤n時(shí)，對(duì)稱軸x＝1Î [m，n]， 　　∴3n＝f(x)max＝f(1)＝Þ n＝與n≥1矛盾． 　　綜合上述知，存在m＝－4、n＝0滿足條件．