Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）成中心對(duì)稱(chēng)，若m，n滿(mǎn)足不等式f（m²-2m）+f（2n-n²）≤0．則當(dāng)1≤m≤4時(shí)，

n

m

的取值范圍是（　　）

• A、[-

  1

  4

  ，1）
• B、[-

  1

  4

  ，1]
• C、[-

  1

  2

  ，1）
• D、[-

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，確定函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用線性規(guī)劃的知識(shí)即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）成中心對(duì)稱(chēng)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）成中心對(duì)稱(chēng)，
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
則不等式f（m²-2m）+f（2n-n²）≤0等價(jià)為f（m²-2m）≤-f（2n-n²）=f（-2n+n²），
∵定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，
∴m²-2m≥n²-2n，即（m-n）（m+n-2）≥0，且1≤m≤4，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=

n

m

，則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P（m，n）與原點(diǎn)連線的斜率，
則由圖象可知當(dāng)P位于直線AB上時(shí)，直線斜率最大，此時(shí)z=1，
當(dāng)P位于點(diǎn)C時(shí)，直線OC的斜率最小，
由

m=4 m+n-2=0

，解得

m=4 n=-2

，
即C（4，-2），此時(shí)z的最小值為

-2

4

=-

1

2

，
∴-

1

2

≤

n

m

≤1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用線性規(guī)劃以及直線斜率的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．